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平衡二叉树（Balanced Binary Search Tree，简称AVL树）是由Adelson-Velskii和Landis于1962年提出的，用于保持二叉排序树的高度较低，减少IO操作时间等关键性性能指标的影响。

定义

平衡二叉树是一个二叉排序树，满足以下条件：

每个节点的平衡因子（Balance Factor，BF）定义为左子树深度减去右子树深度，取值范围为-1、0、1。平衡因子绝对值超过1时，该节点的子树即为失衡。

平衡二叉树算法思想

当在平衡二叉树中插入或删除节点时，可能导致平衡性破坏。此时需要：

失去平衡的最小子树是插入或删除节点后导致平衡因子绝对值达到2的根节点及其子树的范围。

平衡旋转操作

各类型旋转操作如下：

1. LL型旋转

在P节点的左孩子左子树插入节点，或P节点的左孩子右子树删除节点后导致P的平衡因子变为2。此时：

• 将P的左孩子B向右上旋转成为新的根节点；
• P原为B的左子树，向左下旋转成为B的新右子树。

2. RR型旋转

在P节点的右孩子右子树插入节点，或右孩子左子树删除节点后导致P的平衡因子变为-2。此时：

• 将P的右孩子C向左上旋转成为新的根节点；
• P原为C的右子树，向右下旋转成为C的新左子树。

3. LR型旋转

在P节点的左孩子右子树插入节点后，使P的平衡因子变为2。此时：

• 先将P的左孩子B的右子树根节点D向左上旋转（逆时针旋转），使其成为B的新左子树；
• 再将B向右上旋转，使D成为新的根节点，P原左子树旋转为B的新右子树。

4. RL型旋转

在P节点的右孩子左子树插入节点后，使P的平衡因子变为-2。此时：

• 先将P的右孩子C的左子树根节点D向右上旋转（顺时针旋转），使其成为C的新右子树；
• 再将C向左上旋转，使D成为新的根节点，P原右子树旋转为C的新左子树。

这些旋转操作保证了在插入或删除节点后，平衡子树始终保持高度平衡，确保了整体树的性能优势。

平衡二叉树通过旋转操作（3-4次最多一次）调整局部失衡，保持整体平衡，从而实现高效操作和较低的时间复杂度。

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